القسمة

-->

القسمة

القسمة هى العملية الحسابية الرابعة بعد الضرب وتشتق القسمة من تقسيم وهو تجزيئ الشئ إلى أجزاء صغيرة أوتوزيعه على مجموعة من الأشياء سواء أكان إنسان أو حيوان أونبات ويمكن أن نلخص ماسبق فى أن القسمة هى توزيع بالتساوى

مظهر يبين عملية القسمة

* أولويات القسمة

هذه الأولويات هى يجب أن توجد فى أى عملية قسمة وهى :^[1]

1- طرفى القسمة : ويسمى الطرف الأول مقسوم وهو عدد الأشياء المراد تقسيما مثل ( 10 ثمرات تفاح - 5 أعواد بخور ) بينما الثانى مقسوم عليه وهم الأفراد المراد تقسيم الأشياء عليهم

2- العلامة : كما لعملية الضرب علامة (×) ولعملية الجمع علامة (+) ولعملية الطرح علامة (-) فإنه بالتأكيد سيكون لعملية القسمة علامة وهى (÷) وتقرأ على ( كحرف الجر على بالضبط ) وهى التى تفصل بين المقسوم والمقسوم عليه

3- خارج القسمة : والمقصود به ( ناتج القسمة ) وهى الذى خرج من قسم العددين ويتم وضعه بعد علامة (=)

أحيانا يأتى باقى فى القسمة حيث يكون العددان لايقبلان القسمة على بعضهما

ترتيب عملية القسمة هو :

المقسوم ، (÷) ، المقسوم عليه

فمثلا : 6 ÷ 2 = 3 فإن 6 المقسوم ، 2 المقسوم عليه ، 3 خارج القسمة

لايمكن تغيير هذا الترتيب أبدا وإلا فسيتغير ناتج القسمة

* أشكال عمليات القسمة

أشكال عمليات القسمة ثلاث وهى :

1- المقسوم والمقسوم عليه وبينهم علامة (÷) : وهى مثل 10 ÷ 5 وتستخدم فى القسمة بين رقمين

2- الكسر : وتوضع فى صورة كسر إعتيادى فالمقسوم هو البسط والمقسوم عيه هو المقام مثل : 3/6= 2

3- المسودة : وتستخدم فى القسمة الكبيرة مثل قسمة 5 أعداد على عددين

* أنواع القسمة

1- القسمة البسيطة وهى التى تكتب فى صورة مقسوم وعلامة ÷ ومقسوم عليه أو فى صورة كسر

2- القسمة المطولة : وهى تكتب فى صورة مسودة ويكون المقسوم والمقسوم عيه كبيران

وهذين النوعين يبندرجان تحت :

1- قسمة منتهية : وهى التى لاتترك بواقى ويكون المقسوم والمقسوم عليه قابلان القسمة

2- قسمة غير منتهية : وهى التى تترك بواقى وهذا لأن المقسوم والمقسوم عليه قابلان القسمة على بعضهما

* العلاقة بين القسمة والضرب

كا للجمع علاقة مع الطرح فإن الضرب له علاقة مع القسمة وكل عملية ضرب ينتج منها عمليتى قسمة فمثلا :

س × ص = ع ، ع ÷ س = ص أيضا : ع ÷ ص = س

ولتجربتها مع الأعداد :

2 × 3 = 6 ، 6 ÷ 2 = 3 أيضا 6 ÷ 3 = 2

وبهذه العلاقة يمكن أن نحل عمليات القسمة فمثلا 10 ÷ 2 فإننا نقول ما الذى إذا ضرب فى 2 ينتج 10 فسيكون الناتج 5 إذا 10 ÷ 2 = 5 يجب عند حل مسائل القسمة أن نعرف جدول الضرب ^[1]

* حل القسمة المطولة

يمكن حل كل مسائل القسمة عبر طريقة المسودة وهى تشبه حرف Z حيث المقسوم على يسارها والمقسوم عليه على يمينها وخارج القسمة على رأسها وتحل كالآتى :

1- عند القسمة نقسم من ناحية اليسار ونبدأ بالعدد الأول ونقسمه على كل المقسوم عليه فإن لم يكن عددا صحيحا أخذنا العدد الذى على يمينه معه فمثلا إذا كانت 3 لاتعطى عددا صحيحا عند قسمتها على المقسوم عليه وعلى يمينها 2 فإننا نأخذ العددين ويصبح23 ^[1]

2- عند الفروغ من عملية القسمة نتأكد من الناتج فنضرب خارج القسمة فى المقسوم و نضع الناتج تحت أعداد المقسوم عليه التى تم استهلاكها

3- نطرح ونضع الناتج وننزل عددا مع ناتج الطرح وإن لم ينفع القسمة نأخذ عددا آخر ونقسمه على العدد المتبقى وهكذا حيث تنتهى عملية القسمة بطرح وإنزال الباقى

* ملحوظة

-يكون الباقى فى القسمة المنتهية صفر

-لتحويل القسمة الغير منتهية إلى منتهية نطرح الباقى من المقسوم عليه ونقسم مرةأخرى

* قسمة الكسور

قسمة الكسور تعنى بإختصار ضرب المقسوم فى مقلوب المقسوم عليه فمثلا

5 / 4 = 4/5 × 7/8 = 28/40 = 7/10

* قابلية القسمة

للأعداد علاقة مع بعضهم عن طريق القسمة والمقصود بها ( أن من العلاقة بين عددين أن يقبلا القسمة مع بعضهم أو لايقبلا ) والقابلية المقصود بها نتوج عدد صحيح من خلال قسمة العددين على بعضها فمثلا العلاقة بين 5 ، 10 علاقة قابلية لأن 10 تقبل القسمة على 5 وينتج منهما عدد صحيح أولا وهو 2 وهناك خاصيتان تتوجدا بين العددين اللذين يقبلان القسمة على بعضهما :

1- أن يكون أحد العددين من مضاعفات العدد الآخر مثل العدد 5 ومضاعفه 25

2- أن يكون أحد العددين من عوامل العدد الآخر مثل العدد 6 وعامله 3 ^[1] ولكن ليس هذا فقط ، بل يوجد أعداد لها خواص غير ذلك مثل :

العدد 5 وهو أن كل عدد يبدأ بصفر أو بخمسة يكون من مجموعة الأعداد التى تقبل عليها 5 القسمة وهى {5 ، 10 ، 15 ، 20 ، 25 ، 30 } العدد 3 وهو أن كل عدد مجموعه = 3 يقبل القسمة على 3 فورا مثل 21 مجموعه يساوى 3 ويقبل القسمة عليه

العدد 2 وهو أن كل عدد رقم آحاده يساوى عدد زوجى فإنه يقبل القسمة على 2

كل هذه الأعداد مضاعفاتها وعواملها يقبلان القسمة عليها بجانب ماسبق ذكره

* خواص عملية القسمة فى مجموعات الأعداد

مجموعة الأعداد الطبيعية

مجموعة الأعداد الطبيعية ط خواص القسمة فيها هى :

1- الإنغلاق : لايوجد إنغلاق فى عملية القسمة فى ط أى أن كل قسمة عددين طبيعين لايجب دائما أن يساوى عدد طيبعى مثل 7 ÷ 3

2- الإبدال : لا توجد عملية إبدال فى القسمة فى ط فمثلا 10 ÷ 5 لا تساوى 5 ÷ 10

3- الدمج : لا يوجد دمج لأنه مثلا ( 3 ÷ 5 ) ÷ 4 ≠ 3 ÷ ( 5 ÷ 4 )

أى أن عملية القسمة فى ط غير ممكنة دائما

مجموعة الأعداد الصحيحة

مجموعة الأعداد الصحيحة ص خواص القسمة فيها هى :

1- الإنغلاق : لايوجد إنغلاق فى عملية القسمة فى ط أى أن كل قسمة عددين طبيعين لايجب دائما أن يساوى عدد صحيح مثل 7- ÷ 3

2- الإبدال : لا توجد عملية إبدال فى القسمة فى ط فمثلا 10- ÷ 5 لا تساوى 5 ÷ 10-

3- الدمج : لا يوجد دمج لأنه مثلا ( 3- ÷ 5 ) ÷ 4 ≠ -3 ÷ ( 5 ÷ 4 )

مجموعة الأعداد النسبية

مجموعة الأعداد النسبية ن خواص القسمة فيها هى :

1- الإنغلاق : يوجد إنغلاق فى عملية القسمة فى ط أى أن كل قسمة عددين نسببين يجب أن يكون عددا نسبيا لأن قسمة كسريين لايهم أن يكون كسرا أو غير ذلك لأن الأعداد النسبية تساوى الأعداد الصحيحة بجانب الكسور

2- الإبدال : لا توجد عملية إبدال فى القسمة فى ط فمثلا : 5/10÷7/12 ≠ 7/12÷ 5/10

3- الدمج : لا يوجد دمج فى ن .

* نتيجة

عملية القسمة ضئيلة جدا فى الإنغلاق فى كل من ص ، ط

عملية القسمة غير دامجة فى أى من مجموعات الأعداد الثلاثة

عملية القسمة غير إبدالية أبدا فى أى عملية